Zonal Polynomial

释义 Definition

Zonal polynomial（带状多项式/区域多项式）是多元统计与表示论中一类特殊的对称齐次多项式，常用于处理对称矩阵（尤其是协方差矩阵）的函数展开、矩阵变量的超几何函数、以及与球面/正交群相关的积分与分布问题。它可视为与分割（partition）对应的一族基函数，在实对称情形中与 Jack 多项式（参数特定取值）密切相关。

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈzoʊnəl ˌpɑːlɪˈnoʊmiəl/

例句 Examples

Zonal polynomials appear in formulas for the distribution of eigenvalues of random covariance matrices.
带状多项式会出现在随机协方差矩阵特征值分布的公式中。

In multivariate analysis, expansions using zonal polynomials help express matrix hypergeometric functions in a tractable series form.
在多元分析中，使用带状多项式的展开可以把矩阵超几何函数表示成更易处理的级数形式。

词源 Etymology

zonal 来自 zone（“带、区域”），暗示其与“带状/区域”对称结构（尤其是球面或正交群相关的对称性）有关；polynomial 来自 *poly-*（“多”）+ -nomial（与“项/名称”相关），合起来表示“多项式”。该术语在20世纪中期的多元统计与群表示论文献中被系统化使用，用于描述与正交不变性相关的一类对称多项式。

相关词 Related Words

• Gegenbauer Polynomial
• Spherical Harmonics
• Jack Polynomial
• Schur Polynomial
• Symmetric Function
• Orthogonal Polynomial
• Partition
• Representation Theory
• Multivariate Statistics

文学与经典著作 Notable Works

• James, A. T. (1961). “Zonal Polynomials of the Real Positive Definite Symmetric Matrices”（系统发展带状多项式与正定对称矩阵理论的重要论文）
• Muirhead, R. J. (1982). Aspects of Multivariate Statistical Theory（多元统计经典教材，频繁使用带状多项式处理矩阵分布与展开）
• Macdonald, I. G. (1995). Symmetric Functions and Hall Polynomials（对称函数理论经典著作，相关框架可与带状多项式/Jack 多项式联系起来理解）
• Constantine, A. G. (1963). “Some Non-Central Distribution Problems in Multivariate Analysis”（多元分布与相关展开中涉及带状多项式工具）